在相当887700葡京登陆 一般化的数学条件下

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文章关键词:887700葡京手机版,塔克条件

  5.1不等式约束极值问题和等式约束极值问题的 主要区别在于约束条件确定的决策变量取值范围 不同,即可行域不同,从而导致目标函数均衡解 的位置不同,等式约束极值问题的均衡解在可行 域的内点处取得,而不等式约束极值问题的均衡 解可能位于可行域的端点上,那么,在这种情形 下求解最优化问题需要利用库恩—塔克条件。 5.1 是连续的实值函数,则不等式约束的极值问题的数学模型 的一般形式为: max 满足不等式组的x构成的集合D 称为可行域, D中的点称为可行点。如果均衡解在可行域的内部 则称为内部解,如果均衡解在可行域的边界上则称 为角点解。 5.2 所谓的简单的不等式约束极值问题是指自变量 个数不超过两个的极值问题。 例子1 :利用图解法求解下列极小化模型均衡解 min 40s.t. 105.2 首先,确定可行域(见下图)。 非线性规划的目标 就是从可行域内选择一 ,使其目标函数值最小。对于本题 来讲,实际上就是要以 10)为圆心的同心圆 的半径最小。 5.2即:这个同心圆与可行域相切。 在这个切点,圆的切线斜率与直线斜率相等。 所以,我们首先求圆的切线的斜率。目标函数 可以重写为: 整理得:5.2 于是有 ,整理得:4x –30与5x 40建立方程组: 4x –305x 40解方程组,得均衡解: 5.2例子2 :利用图解法求解下列极大化模型均衡解 max 首先,确定可行域(见下页图)。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 ,使其目标函数值最大。s.t. 5.2 对于本题来讲,实际 就是要使得直线与坐标轴 的截距最大。 即:直线与可行域相切。 在这个切点,椭圆 切线的斜率与直线 所以,我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆 求全微分,得:4xdx 整理得:,于是有: 与2x 建立方程组得:解方程组,得均衡解:(x 5.2例子3 :利用图解法求解下列极大化模型均衡解 max 首先,确定可行域(见下页图)。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 ,使其目标函数值最大。s.t. 5.2 对于本题来讲,实际 就是要使得以(0, 心的同心圆半径最大。即:圆与可行域相切。 在这个切点,椭圆 切线的斜率与同心圆切 线 所以,我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆 求全微分,得:4xdx 整理得:。然后,对圆求全微分,得: 于是有x 所以,均衡解为:5.3 一、简单不等式约束(仅存在非负约束)极值问题的库恩—塔克条件 为得到一般化的不等式约束的库恩—塔克条 件,我们首先来分析简单的不等式约束的库恩— 塔克条件,即仅有非负约束而无其他约束。 我们先来看单变量的情形: …(5-1)5.3 优解可能会存在三种情况:第一种情况:y 的极大值对应的均衡解x 出现在可行域的内部。 在这种情况下,一阶 必要条件为: 第二种情况:y的极大值对应的均衡解x 出现在可行域的边界上,但仍能保证一阶必要 条件 在这种情况下,一阶必要条件为: 第三种情况:y的极大值对应的均衡解x 出现在可行域的边界上,但不能保证一阶必要 条件 在这种情况下,一阶必要条件为: 从上面的讨论来看,模型(5-1)问题的极大值点 存在的必要条件是如下三个条件之一: 那么,这一论述即为模型(5-1)问题在x 即为模型(5-1)最优化问题的库恩—塔克条件。 5.3 将模型(5-1)推广至多变量的情形(但仍然只存 在非负约束而无其他约束),则模型(5-1) 的最优化 问题可写为: max 为连续可微函数。则在x 大值的库恩—塔克条件为: (5-2)…5.3 同样,我们也可以研究非负约束的极小值问题。min 同样,最优解也可能会存在三种情况:我们还是先来看 单变量的情形: …(5-3) 5.3 则模型(5-3)问题在x 处取得极小值的一阶必要条件可写为: 亦即其为模型(5-3)最优化问题的库恩—塔克条件。 5.3 同样,将模型(5-3)推广至多变量的情形(但仍 然只存在非负约束而无其他约束),则模型(5-3) 最优化问题可写为:min 为连续可微函数。则在x 小值的库恩—塔克条件为: (5-4)…5.3 二、简单的不等式约束(不局限于仅存在非负约束)极值问题的库恩—塔克条件 前面的分析,我们仅仅是考虑了非负约束而 未考虑其他约束,下面我们就开始研究考虑不等 式约束效应的情形,即本章开头给出的一般化的 模型。我们仍然从简单的情形入手。 5.3 两变量一约束极值问题的库恩—塔克条件两个变量一个约束条件的极值问题可写为: max 在约束条件中引入松弛变量s, 则(5-5) 可写为: …(5-5) max …(5-6)5.3 由(5-6)可知,在松弛变量s 的帮助下,不等式 约束问题就变成了相应的等式约束问题,如果没有 非负约束s 数的方法来求解最优值问题。不管怎样,我们先来构造Lagrange 函数: 必须要注意的是:s.t. 变成了求解仅带有非负约束的Lagrange函数的极值 问题,即(5-5) 等价于: max 即为前述(5-2)式的情形。 …(5-7) 5.3 ),那么根据(5-2)式,我们就可以写出其 )处取得极大值的库恩—塔克条件。但需要注意的是,由于(5-7) 式仅对变量s 有非负约 束,所以其库恩—塔克条件为: 5.3 处求导可得:于是,该问题库恩—塔克条件中的 可写为: …(5-8) 5.3 处求导可得:于是,(5-8) 式可写为: …(5-9) 5.3 所以,(5-5)式这一极大化问题的库恩—塔克 条件可概括为: 5.3 如果模型(5-5)式中的决策变量也有非负约束,即: max 构造Lagrange函数: 必须要注意的是:s.t. …(5-10)5.3 同样,求解不等式约束极值问题(5-10)就变成 了求解带有非负约束的Lagrange 函数的极值问题, 即(5-9) 等价于: max 即亦为前述(5-2)式的情形。 …(5-11) 5.3 ),注意(5-11)式对变量s 均有非负约束,所以其库恩—塔克条件为: 5.3 (5-9)式的变换过程和结果,有: 5.3 所以(5-10)式这一极大化问题的库恩—塔克条 件可概括为: 5.3 事实上,无论是(5-5)式还是(5-10) 式极大值问 题库恩—塔克条件的最终结果中都不含有s 仅是一个中间辅助变量,所以在实际问题的分析中,在 构造Lagrange 函数时我们不再引入s ,直接构造如 下形式的Lagrange 函数[ (5-10) 由于前述(5-10)式极大值问题库恩—塔克条件 无关,所以,以(5-12)式建立的Lagrange 函数 得到的库恩—塔克条件与前述完全一致。 …(5-12) 5.3 不过,我们还可以进行适当变换。根据(5-12)式,可得 ,所以(5-10) 极大值问题库恩—塔克条件可写为:5.3 举个例子:求下列最优化问题的可能极值点max s.t.2x 解:构造Lagrange函数 满足的库恩—塔克条件为:5.3 求解库恩—塔克条件的基本出发点是先从判断λ开始,即从λ= 两种情况开始判断,然后找到同时满足库恩—塔克条件的解。 5.3 变量m约束极值问题的库恩—塔克条件 个变量m个约束条件的极值问题可写为: max 是连续可微函数。…(5-13) 5.3 构造Lagrange函数: 库恩—塔克条件为: 如果(5-13)式还存在决策变量的非负约束,则 均衡解的库恩—塔克条件为: 举个例子:求下列最优化问题的可能极值点max s.t.5x 如果是极小值问题呢,库恩—塔克条件是?——一个简单的处理方法是将它转化为极大值问 题,而且将不等式约束均转化为“”。 举个例子: min s.t.2x 解:首先,极小值问题转化为极大值问题max s.t.–2x 2x朗日函数: 2y)5.3 于是,该问题的库恩—塔克条件为:5.3 三、混合约束极值问题的库恩—塔克条件考虑k 个等式约束和m 个不等式约束的n 的极大值问题:max 处是紧的(即使得不等式约束的等号成立),姑且认为就是前m 个约束条件不是紧的。我们再假定在均衡点x 构造Lagrange函数: 库恩—塔克条件为: 如果给该极大值问题再加上非负约束,则库恩—塔克条件为: 5.3 举个例子:求解下面最优化问题可能的极值点max 思考一个问题:我们前面讲的库恩—塔克条件是求解不等式约束的极值问题均衡 解的必要条件吗? 先举一个例子1 :考虑下述不等式约束极值问题 max 首先,我们用前面讲的库恩—塔克条件来求解。构造Lagrange 函数: 库恩—塔克条件为:无解 5.4 这个不等式约束极 值问题真就 无解吗? 下面我 们用最开始 学的图解法 来试试。 (先找可行域) 并未按照这个趋势走,而是 突然转弯。 均衡解(1, 由图解法可知,该不等式约束极值问题存在最优解(1,0),但根据前述库恩—塔克条件却无法 解出,表明库恩—塔克条件失效,亦表明前述的库 恩—塔克条件不是不等式约束极值问题的必要条件。 为什么会出现这种情况呢?——我们观察一下, 在最优解(1,0)之前,可行域的边界是沿着某个趋 势行走,但当达到最优解点(1,0)时却不再按照这 个趋势继续行走,而是突然转向,我们把这样的最优 解点称为歧点(Cusp,也叫分岔点)。歧点前后可行 域边界表现出了某种不规则性,而正是由于这种不规 则性使得库恩—塔克条件在边界的最优解处失效。 5.4 歧点的数学表达:当曲线突然反向,使得在该点一边的斜率等于该点另一边的斜率 时,所形成的尖点(Sharp Point)。 歧点是最经常引用的使库恩—塔克条件失效的 原因,但事实上,歧点的出现既不是库恩—塔克条 件在最优解处失效的必要条件,也不是充分条件。 比如,我们举一个例子2 ——对于例子1 我们先用图解法来 求解。 (先找可行域) 可行域没变 均衡解(1, 我们再用库恩—塔克条件来解。Lagrange函数 可写为:L 由例子2可知,即使存在歧点,但库恩—塔克 条件仍然成立,即歧点并非库恩—塔克条件失效的 必要条件。 我们再举一个例子3 :考虑如下最优化问题 max 库恩—塔克条件为:无解 5.4 下面我们用图解法 来试试。 (先找可行域) 任何地方都不存在歧点使得x 向上移动的距离最大。 均衡解点 5.4 由例子3可知,即便是在没有歧点存在的情况 下,库恩—塔克条件也是失效的(图解法证明该问 题是有最优解的),因此说,歧点也不是库恩—塔 克条件失效的充分条件。 通过上面的分析可知,库恩—塔克条件并非不 等式约束极值问题的必要条件,那么在什么情况下 库恩—塔克条件才是不等式约束极值问题的必要条 件呢?——只有满足特定条件时(这个条件就叫 做约束规范,Constraint Qualification),库恩—塔 克条件才是不等式约束极值问题的必要条件。 由前面的分析可知,这个特定条件(约束规范) 与可行域的形状无关(例子1 和例子2 具有相同可行 域、例子3 的可行域还是凸集),而是与约束函数的 形式有关(例子2 加上一个新的约束条件后,库恩— 塔克条件便未失效)。 什么是约束规范呢?——是指对非线性规划中的 约束函数施加的某些限制,目的是为了排除可行域边 界上的某些不规则性(包括但不仅限于歧点),这些 不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩—塔克条 件。换句话说,如果约束条件满足某一约束规范,则 边界的不规则性就不会存在,库恩—塔克条件有效。 那么,究竟是在什么情况下才是满足约束规范呢? 考虑如下一般性的不等式约束极值问题 max 三约束条件在C点都不是紧的 约束条件x 满足所有约束,即:对任意的i(i 处满足约束规范(也称满足线性独立规格)。 何谓梯度向量? 的一阶偏导数构成的n 维向量称为梯度向量,即: 线性相关,不满足约束规范 所以,由以上分析可知,若要使用库恩—塔克 条件来求解不等式约束极值问题,应该在利用库 恩—塔克条件求解得到均衡解后,对均衡点检验约 束函数是否满足约束规范。 特别需要指出的是,如果可行域仅是由线性约 束形成的凸集,那么约束规范总是满足的,而且库 恩—塔克条件在最优解处总成立。 5.4 再思考一个问题:库恩—塔克条件是求解不等式约束极值问题的充分条件吗? 再举一个例子4 :考虑下述不等式约束极值问题 min 首先,将最优值问题转化为极大值问题的标准型。max 然后,构造Lagrange函数: 处是否满足约束规范。 该问题的约束函数为: 处,只有第一个约束条件是紧的,而且它的梯度向量为: 线性无关,满 足约束规范 5.4 下面,我们看看图解法的结果。库恩—塔克得 到的均衡点 实际的最优值点 满足库恩—塔克条件的点不是目 标函数均衡解。 库恩—塔克 条件不是充 分条件。 5.4 库恩—塔克条件与Lagrange条件的比较 相似之处: 在没有非负约束的限制下,二者的Lagrange 函数对决策变量的一阶偏导数都是0 均等于0(相同),则由此看出,等式约束问题的必要条件是不等 式约束问题必要条件的特殊情况。 5.4 不同之处:在等式约束中,Lagrange 乘子可以为正,也 可以为负;但在不等式约束中,紧约束对应 的库恩—塔克条件中的Lagrange 由于不等式约束问题对λ有非负限制,所以 ,故不存在互补松弛性。5.5 一、库恩—塔克条件的二阶充分条件考虑如下不等式约束的极大值问题: max 构造Lagrange函数: 得到满足,则有:假设前m 处的梯度向量可写为: 此外,Lagrange函数在(x 构造如下海赛加边矩阵:类似于等式约束,如果后n 子式的符号均与(–1) n)同号,则目标函数在(x 举个例子:求下列最优化问题的可能极值点max s.t.2x 这是我们前面讲过的一个例子,根据库恩—塔克条件,已经求得了(x 面我们来验证二阶充分条件。5.5 (1212) 构造Lagrange 函数:L(x, 则Lagrange函数在(3, 于是,海赛加边矩阵可写为:由于m 子式就是。计算可得 同号。所以,(3, 是目标函数的一个极大值点。5.5 二、库恩—塔克充分性定理:凹规划在某些情况下,库恩—塔克条件可以被用作极 大化问题的充分条件。 考虑如下极大化问题: max 如果满足以下条件:目标函数f(x) 的整体极大值点。这表明,在满足约束规格即满足条件[亦即满 足库恩—塔克条件是必要条件]以及条件和条件 后,库恩—塔克条件为极大化问题的充分必要条件。 5.5 证明:构造Lagrange函数: 此处赋予Lagrange 乘子具体值λ 的函数。假设f(x) 为凹函数,每个约束函数g 函数,则根据凹函数性质可知,L(x)为凹函数的充 分必要条件为——对于定义域内任意x 即为满足库恩—塔克条件的值[与条件相一致]。 上式可变为:L(x) 对于任意的x,求和号内部分可以拆分为两部分: 由库恩—塔克条件可知: 可写为:根据约束条件λ 由库恩—塔克条件可知:所以, 举个例子:考虑下面最优化问题max 解:由于对数函数是凹函数,887700葡京登陆而且目标函数为两对数函数的和,所以目标函数是凹函数,而且在 定义域内是可微的,故满足条件。 约束函数是线性函数,是凸函数,满足条件。 5.5 由于约束函数是线性的,满足约束规范,故库恩—塔克条件为必要条件。于是构造拉格朗日函数: 库恩—塔克条件为: 5.5 2/3,矛盾。 如果x 1,各项据满足(不存在矛盾情形),因此均衡解为(x 为什么称这样的极大化问题为凹规划呢?首先来说,目标函数是凹函数; 再一个就是,库恩和塔克二人在最初讨论这一 问题时,约束条件用的是“ 这样的话,所有的约束函数也都是凹函数了。 5.5 三、阿罗—恩索文充分性定理:拟凹规划应该说,应用库恩—塔克充分性定理(凹规划) 必须满足目标函数为凹函数、约束函数为凸函数的 要求,而事实上,这是非常严格的要求。 1961年,阿罗和恩索文提出了另外一个充分性 定理——阿罗—恩索文充分性定理(也称拟凹规 划),弱化了上述比较严格的要求。 Kenneth, Enthoven.Quasi concaveProgramming. Econometrica, 1961(Oct.) 779-800.5.5 对于极大化问题:max 如果满足如下条件:目标函数f(x) 为拟凹函数且可微; 每个约束函数g 满足库恩—塔克极大化条件;满足下列诸条件中任意一个: 5.5 邻域内f(x)的所有二阶偏导数都存在; 函数f(x) 为凹函数。 的整体极大值点。5.5 举个例子:假设厂商的生产函数为柯布—道格拉斯生产函数Q 且为外生变量。求下列极小值问题:min 解:将该问题转化为极大值问题:max 是线性函数,所以它是拟凹函数(当然也是拟凸函数、凹函数、凸函 数)。我们再来看约束函数g 是不是拟凹函数。5.5 ,根据第4章学习的拟凹函数 的判定定理,任取F 定义域内两个不同的点,u= 拟凹的充要条件为通过计算可得: 个为零,肯定满足拟凹充要条件。 5.5 不为零的情形。这样的话,只需证明 即可。 由于K 至少有一个大于等于1,我们不妨假 ,以下过程完全一样]。5.5 下面我们仅需要判断H(k)是否 下面我们来看一下H(k)是什么函数(增or 求导,有:由于k ,所以,所以有: 所以,H(k) 是增函数,所以H(k) 所以,目标函数是拟凹函数——满足条件;约束函数是拟凸函数——满足条件; 目标函数是凹函数——满足条件—; 这样,利用库恩—塔克条件求得的满足约束规 不一定是凹函数,由书上例子4.8(p. 65)可知,只有当a 时,它才是凹函数。]5.5 四、鞍点定理我们首先给出鞍点的定义:设可微函数f(x, 的一个鞍点。5.5 考虑如下不等式约束的极大化问题:max 构造Lagrange函数: 其中:x ……(5-14)……(5-15) 5.5 若将Lagrange函数仅仅看做是关于x 的函数, 那么我们来看(5-14) 它是不是仅含非负约束的Lagrange函数极大值 问题的库恩—塔克条件? 即:意味着Lagrange 函数L(x, 关于x取极大 若将Lagrange函数仅仅看做是关于λ 的函数, 那么我们来看(5-15) 它是不是仅含非负约束的Lagrange函数极小值 问题的库恩—塔克条件? 即:意味着Lagrange 函数L(x, 关于λ取极小 关于x有最大值L(x 关于λ有最小值L(x, Lagrange函数L(x, 的鞍点,而且可以推导出(5-14)式和(5-15) 式,且下式成立: 15)式,但并不意味着这两种情况等价。不过,在相当 一般化的数学条件下,二者有这样的关系:鞍点不等 式隐含着目标函数f(x) 具有约束极大值,但是约束极 大化问题的极大值点未必是鞍点,除非添加更强条件。 5.5 鞍点定理:对于如下不等式约束的极大化问题max 是其Lagrange函数L(x, 是目标函数f(x)的最大值点; 5.5 假设目标函数f(x)为凹函数,887700葡京登陆满足紧约束的 的鞍点。证明:设(x 是Lagrange函数L(x, 的鞍点,由鞍点定义,对于任意的x …(5-16)…(5-17) 5.5 由(5-17)式可得: 根据假设λ ,若想使得上式即(5-17) 式恒成立,有: 以若想使得上式即(5-17)式恒成立,有g …(5-18)5.5 由(5-16)式和(5-18) ,并且对于任意可行的x必须满足 ,所以有:所以,f(x 的最大值点。所以,得证。 我们再来证明。在假设条件成立时(满足凹规划前两个条件),则存在λ 是模型的最大值点,使得互补松弛条件λ 带入到Lagrange函数L(x, 的鞍点。需要注意的是,对于鞍点定理,在没有假设条件的 情况下其结论是不成立的。 [下面我们举例说明] 5.5 对于所有正的消费束x 而言,效用函数递增,所以在追求效用极大化情况下,消费者会花光所有收入。 这一问题可以表述为: max 构造Lagrange函数:L ,表明鞍点定义右边满足。但对于左边,如果令x 不成立5.6 一、效用最大化问题 何为不等式约束下的效用极大化问题?——当 消费者面对市场给定价格p 时,在一定预算M的约 束下,消费者将如何选择? 是消费者的效用函数,且满足单调性假设(即U/x ,消费者预算约束为M。 5.6 于是,消费者的最优行为应该是——在预算为 M的约束下最求最大效用,即: max 构造Lagrange函数:

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