根据互补松887700葡京登陆弛条件

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  第四篇:最优化问题(五) 第13章 最优化问题的其它主题 13.1 非线性规划和库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件 1.仅存在非负约束的情况。 问题: 假设f可微 Max s.t. 分析:最大值的位置可能有三种情况 (1) 若局部最大值出现在可行集内部,如下图(a)中的A点,则极大值的一阶条件为: (2) 若局部最大值出现在纵轴上,如下图(b)中的B点,且一阶条件依然有效,则有: (3) 若局部最大值出现在纵轴上,如下图(c)中的C点或D点,且一阶条件无效,则有: 总而言之,f在x1上取极大值,必须满足以下三个条件之一: (1) (2) (3) 这三种情况综合起来等价于: (13.5) (这个三个条件的共同特点是:和至少一个为零,这个特点称为和互补松弛) (13.5)就是f整体极大化问题的必要条件(一阶条件)。 推广:对有n个选择变量的可微目标函数最优值问题: Max s.t. 一阶条件为: (13.7) 2. 不等式约束效应 考察以下含有不等式约束条件的求最大值问题: Max s.t. 且 引入两个虚拟变量s1和s2,可以将问题转化为 Max s.t. 且 定义: 由于xj和si必须非负,故这些变量的一阶条件必须修改得与(13,.7) 一致, 故极值存在的一阶条件为: (13.10) 若令 则一阶条件等价于: 为什么? 下面我们举例说明如何使用库恩-塔克条件求最优解。 例1:求如下效用最大化问题的最优解。 Max s.t. 解:拉格朗日函数是 库恩-塔克条件是: , 且 , 且 , 且 , 且 采用试错法进行求解 因为且,则且 假设或,则,非最优解。 则,进而,即 (1) 假设配额没有用尽,即, 则有:,进而由可知: 进而,由可知: 由可知:,与矛盾。即最优解并非出现在此假设的情况中。 (2) 假设配额用尽,即 由可知: 进而由得:,,为最优解。 n个变量,m个约束的情形 将库恩-塔克条件推广到n个变量,m个约束条件的问题, Max s.t. ... 且 对应的拉格朗日函数为: 极小值问题的库恩-塔克条件为: 推广:极小值问题的库恩-塔克条件(n个变量m个约束的情况): 问题: Min s.t. ... 且 对应的拉格朗日函数为: 极大值问题的库恩-塔克条件为: 举例2(P498):应用库恩-塔克条件解决如下极小化问题 Min s.t. 且 解:拉格朗日函数为: 根据库恩-塔克条件,边际条件为: 采用尝试法: (1) 假设,则由松弛条件可知: 进而由(13.18)最后两行可得: 解得:,,违反非负约束。 (2) 假设,则由和可以求出且 进而可得:,与矛盾。 则有:或 (3) 假设, (3.1)若 则由(13.18) 而,与的前提矛盾。 (3.2) 若 则由可得: 进而由可得:,与的约束条件矛盾。 (3.3) 若, 则由可求出 进而,由可以求出,887700葡京登陆与前提矛盾。 (3.4 ) 若, 则由则由和可以求出 满足所有条件 (3) 假设,与情况(3)一样讨论可知无满足所有条件的解存在。 故 为最终解。 练习:P500练习13.1: 4、5(交) 13.2 约束规范 例1(P501): Max s.t. 且 其最优解为(1,0),但最优解并不满足库恩-塔克条件(为什么)。 拉格朗日函数: 第一个边际条件: 在(1,0)点,有:,故,不满足松弛条件。 也就是所,库恩-塔克条件并非一定是极值的必要条件,上面所举的例子就说明了这一点。而违背能够产生最优解的库恩-塔克条件是由于可行集(满足约束条件的点集)边界上的某些不规则性(如教材P501-503所介绍的歧点)。可以使用以下的约束规范来排除边界上的不规则性。 约束规范 1. 测试向量定义 令是可行集边界上的一个点,并令表示从点x*移动的特定方向,如果满足以下两个条件 (1) 如果xj*=0,则dxj*?0; (2) 如果,则 (所有偏导数都在计算)则称dx为测试向量。 2. 规范弧 对测试向量dx,如果存在满足以下三个条件的可微弧 (1) 从x*出发; (2) 整个包含在可行区域内; (3) 与测试向量相切 则称这样的弧段为该测试向量的规范弧。 3. 约束规范 如果对可行区域边界上的任意点,对每一测试向量dx,存在一规范弧,则满足约束规范。(进而可以使用库恩-塔克条件) 例4(P505):证明例1中的最优解 (1,0)不满足约束规范。 Max s.t. 且 证明:在点, 由于,根据测试向量定义的条件(1)可知:该点的测试向量满足: (13.22) 根据测试向量定义的条件(2)可知: (13.23) 进而由(13.22)和(13.23)有: 而在测试向量中对的取值没有限制,可正可负。 对于dx1取正值的测试向量,显然可以绘制一个复合要求的规弧(如可行区域的弯曲边界,还可以是其他弧线取负值的测试向量,则不存在规范弧。因此点(1,0)不满足约束规范。得证。 例5(P505):若在例4中增加一个约束条件,证明点 (1,0)满足约束规范。 Max s.t. 且 证明:与例4相同,可证明得测试向量应满足 由第二个约束条件,和测试向量条件(2)可知: 因此测试向量中且,故测试向量只有从(1,0)出发指向左侧的方向,显然是存在该测试向量的规范弧的。得证。 线性约束条件 结论:对于线性约束条件的极值问题,只要可行区域为线性约束条件,则必定满足约束规范。 练习:P508 练习13.2:2、4(交) 13.3 经济应用 战争时期配额供应 考虑只有两件物品x和y被定量供应,假设消费者的效用函数是U(x, y),消费者有固定货币预算B,外生的物品价格为和,以消费券价格购买x和y的价格为和最大化问题可以描述为: Max s.t. 且 该问题的拉格朗日函数为: 由于两个约束条件都是线性的,可行区域为凸集,故满足约束规范。库恩-塔克条件为: ,, ,, ,, ,, 例1:假设对上述问题,给定效用函数,B=100,,。根据库恩-塔克条件求最优解。 解: 步骤1:假设第二个定量配额条件没有满足,解出x和y后发现x和y的取值不满足预算约束条件。 步骤2:假设第一个预算约束条件没有满足,解出x和y发现x和y满足所有库恩-塔克条件。则接受该组值为最优值。 步骤3:假设两个预算条件都满足,可以验证得到的解与2相同。 尖峰价格 假设企业尖峰和非尖峰时段的平均收益函数如下: ,白天(尖峰) ,晚上(非尖峰) 企业为每单位产品支付成本b,每单位产能成本为c(即单位产出需要支付的产能成本为c),若K表示以产出Q的单位数量度量的总产能,则企业利润最大化问题可表示为: Max s.t. 且 其中 令的总收益为: 则企业最大化问题可以简化为: Max s.t. 且 如何求最优解? 解: 问题对应的拉格朗日函数为: 库恩-塔克条件为: ,, ,, ,, ,, ,, 其中是的边际收益。 例2:假设尖峰时期的平均收益函数为: 非尖峰时期的平均收益函数为: 尖峰和非尖峰时期每半天单位产出产能成本均为8分; 每半天生产1单位产出花费6分营业成本。 求最大效益的最优解。 解:该问题可描述为: Max s.t. 且 可求得的边际收益为 (1) (2) 因此,根据前面的分析,可得到库恩-塔克条件为: ,, ,, ,, ,, ,, 假设,根据互补松弛条件,可得: ,, 即 (3) (4) (5) 情况一:若次级市场上产能约束没有发挥作用(),根据互补松弛条件,有:。 则(5)式等价于: 进而(3),(4)式等价于:, 而由(1)式和(2)式可知: 解得:和 因为由可得: ,故,即:这与次级市场上产能约束没有发挥作用的假设矛盾。 情况二:两个约束条件都发生作用。 则 根据(1)和(2), (3),(4),(5)式可化为: 解方程组,得: ,,, 以上解满足库恩-塔克约束条件,由于,可理解为主要市场支付产能成本是,次要市场支付产能成本是。 练习:教材P516:3(交) 13.4 非线性规划中的充分性定理 1.极大化问题的库恩-塔克充分性定理(凹规划) 定理:给定非线性规划 Max s.t. 且 如果满足下列条件: (a) 目标函数f(x)在非负正交分划体中可微,且为凹函数; (b) 每个约束函数在非负正交分划体中可微,且为凸函数; (c) 点满足库恩-塔克极大值条件。 则是的整体极大值点。 2.极小化问题的库恩-塔克充分性定理 定理:给定非线性规划 Min s.t. 且 如果满足下列条件: (a) 目标函数f(x)在非负正交分划体中可微,且为凸函数; (b) 每个约束函数在非负正交分划体中可微,且为凹函数; (c) 点满足库恩-塔克极小值条件。 则是的整体极小值点。 例1(P520:2): 对于以下问题,库恩-塔克充分条件是否适用? (a) Max s.t. 且 解:(1) 线性目标函数显然是凹函数; (2) 约束条件是两个凸函数之和,为凸函数; 因此可以应用库恩-塔克充分性定理。 3. 极大化问题的阿罗-恩索文(Arrow-Enthoven)充分性定理(拟凹规划) 定理:已知非线性规划 Max s.t. 且 如果满足以下条件 (a) 在非负正交分划体中目标函数可微且是拟凹函数。 (b) 在非负正交分划体中每个约束函数可微,且是拟凸函数。 (c) 点满足库恩-塔克极大值条件。 (d) 满足下列诸条件中的一个: (d-i) 至少对某个变量有。 (d-ii) 对某个可取正值而不违背约束的变量,有。 (d-iii) n个导数不全为零,函数在的邻域内二阶可微。 (d-iv) 函数为凹函数。 那么是的整体极大值点。 4. 极小化问题的阿罗-恩索文充分性定理 定理:已知非线性规划 Min s.t. 且 如果满足以下条件 (a) 在非负正交分划体中目标函数可微且是拟凸函数。 (b) 在非负正交分划体中每个目标函数可微,且是拟凹函数。 (c) 点满足库恩-塔克极小值条件。 (d) 满足下列诸条件中的一个: (d-i) 至少对某个变量有0。 (d-ii) 对某个可取正值而不违背约束的变量,有0。 (d-iii) n个导数不全为零,函数在的邻域内二阶可微。 (d-iv) 函数为凸函数。 那么是的整体极小值点。 例2(P520:3(a)) (a) 函数能否在数学上被接受为极大化问题的目标函数,这些极大化问题适用阿罗-思索文充分性定理。 5. 约束规范的阿罗-恩索文检验方法 (1) 对极大化问题 Max s.t. 且 如果 (a) 每个约束函数可微且为拟凸函数。 (b) 在非负正交划分体存在一点,使在处满足作为严格不等式的所有约束条件。 (c) 下列条件中的一个成立: (c-i) 每个函数为凸函数。 (c-ii) 每个的偏导数在可行区域中的每点x计值时,不全为零。 则满足约束规范。 (2) 对极小化问题 Min s.t. 且 如果 (a) 每个约束函数可微且为拟凹函数。 (b) 在非负正交划分体存在一点,使在处满足作为严格不等式的所有约束条件。 (c) 下列条件中的一个成立: (c-i) 每个函数为凹函数。 (c-ii) 每个的偏导数在可行区域中的每点x计值时,不全为零。 则满足约束规范。 例3(P520:4(a)) 给定下面极大化问题的约束条件,阿罗-恩索文约束规范是否满足? (a) 和 练习 P520:2(b)(交) 13.5 极大值函数和包络定理 极大值函数(间接目标函数)是当选择变量都是最优值的时候的目标函数。 例如: 对求极大值问题的目标函数为,其中是选择变量(内生变量),是外生变量(或参数),为最优解, 则 为极值函数。 无约束最优化问题的包络定理 对无约束最优化问题:Max 其中是选择变量(内生变量),是外生变量(或参数), 为最优解,令 则有:, 证明:不难得到: (1) 其中,,且 若为最优解,则因满足一阶条件: ...... 故(1)式可化为: 得证。 利润函数 例:假设一个企业用两种投入品:资本K和劳动力L,利润函数为: 其中P是产出价格,w和r分别是工资和租金。求,其中, 是最大化利润的最优解。 解:极大值的一阶条件是: 设解得:, 把解和代入目标函数,可得: 为了评估w变化导致最大利润函数如何变化,求静态的导数: 根据一阶条件可知:且 故: (13.38) 类似地,可以求得: (13.39) (13.40) 等式(13.38)、(13.39)和(13.40)称为霍特林引理(Hotlling lemma)。 交互条件 结论:对于无约束极大化问题 Max 其中x和y是选择变量,如果只进入x的一阶条件,则有: 即和的符号相同。 证明:极值存在的一阶条件是:和,这隐含着 和 极大值函数是: 定义一个函数: 的极大值存在的一阶条件为: 的海塞矩阵为: 的极大值存在的二阶条件为: , , (推导上述海塞矩阵时,我们根据x,y,?的次序来列出变量,我们可以变换其它次序(y,x,?)或者(?,x,y)等,对于不同的排序,我们可以得到不同的第一项) 可知:,和 而根据 可知: 两边再对求导可得: 根据杨氏定理和,有: 因为只进入x的一阶条件,则有: 因此,和的符号相同。得证。 例如:在利润最大化模型中,利润函数为: 其中是产出函数,P是产出价格,w和r分别是工资和租金。要求比较静态函数和的符号。 解:根据极值的一阶条件,有: 外生变量w只进入L的一阶条件且 故根据上面结论有: 同理:r只进入K的一阶条件且, 故。得证。 进一步讨论上例: 根据霍特林引理可得: 再次分别对r和w求导可得: 或 这个结果显示一种投入的价格对于另外一种投入的需求的比较静态交叉影响是对称的。 约束最优化的包络定理 约束最优化的包络定理: 给定以下约束极大值问题: Max s.t. 这个问题的拉格朗日函数是: 则有:。 证明:极值存在的一阶条件是: 解上述方程组可得: ,, 把解代入目标函数,可得: 进而有: (1) 而已知: 进而有: (2) 将(1)-(2)??可得: 拉格朗日乘数的解释 结论:对以下约束极值问题: Max s.t. 其中c是常数。这个问题的拉格朗日函数是: V(c)是极大值函数,则有: 证明:该极值问题对应的一阶条件是: 方程组隐含定义了如下解: 对c求导,可得: 重新整理,可得: 根据一阶条件,可知前三项均为零,即 ,得证 13.6 对偶和包络定理 基本问题 定义以下问题是基本问题: Max s.t. 其中U(x,y)是效用函数, x和y是消费品。消费者有预算B,面临的x和y的市场价格分别是Px和Py。此问题称为基本问题。 解: 此问题对应的拉格朗日函数为: 一阶条件是: (13.63) 一阶条件的三个方程隐含了以下均衡解: 称为马歇尔需求函数。 把解代入到效用函数,得到最大效用的极大值函数为; 对偶问题 维持上基本问题中给出的最大效用,如何选择x和y使得在两种商品x和y上的总支出最小。即: Min s.t. 解:该问题对应的拉格朗日函数为: 一阶条件是: (13.66) 一阶条件的三个方程隐含了以下均衡解: 称为希克斯需求函数,因此采用h作为上标。 把解代入到对偶问题的目标函数,得到为了获得效用U*所需付出的最低支出的极小值函数; 由基本问题和对偶问题的一阶条件 和 可得: 因此有:两个问题得到的最优解相同,即: 进而有: 根据和,可算得: 和 即 。 罗伊恒等式 上述效用最大化问题的拉格朗日函数为: 将最优值代入可得极大值函数为: (13.72) (13.72)式对求偏导可得: 根据一阶条件(13.63),可化简为: (13.72)式对B求偏导可得: 根据一阶条件(13.63),可化简为: 进而,有: 同理可得: 该结果称为罗伊恒等式。 谢泼德引理 对基本问题的对偶问题消费者极小化问题,对应的拉格朗日函数为: 一阶条件是: (13.66) 一阶条件的三个方程隐含了以下均衡解: 把解代入拉格朗日函数,可得支出函数: 进而可得: 根据一阶条件,可得: 类似地,可得: ,和这三个偏导数一起被称为谢泼德引理。 例1(P534):考虑一个效用函数为的消费者,预算约束是B,给定商品价格为和。即 Max s.t. 用该例子证明罗伊恒等式。 证明;该问题对应的拉格朗日函数是: 一阶条件是: (13.63) 求解一阶条件的三个方程,可得解: , , 对应的海塞加边行列式为: 因此,可以确定均衡点处为极大值。 进而,见和代入效用函数,推导出间接效用函数为: 进而可以得到: 同理可证: 即罗伊恒等式成立。 例2(P534):考虑例1的对偶问题-成本最小化问题。令表示目标效用水平,则成本最小化问题可以表示为: Min s.t. 用该例子证明谢泼德引理。 证明: 对偶问题对应的拉格朗日函数为: 一阶条件是: 求解x,y和?,可得: ,, 其中和是消费者的补偿需求函数。检查极小值的二阶条件如下: 满足极小值的充分条件。 把和代入初始目标函数,可得支出函数为: 谢泼德引理得证。 练习:P537:1 (交) 数理经济学—最优化问题的其它主题 24

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