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  蒋新新通信系统中的序列设计 一第二章预备知识 有限域上的代数结构定义 有限域 其中域中元素的个数称为有限域的阶。最简单而又最基本的有限域是整数环模素数 的剩余类域 。为方便起见 以后总用 表示元有限域 。定义 特征 是任意的一个域如果 的素域同构于有理数域 如果的素域同构于整数环 的特征为记为 。域

  蒋新新通信系统中的序列设计 一第二章预备知识 有限域上的代数结构定义 有限域 其中域中元素的个数称为有限域的阶。最简单而又最基本的有限域是整数环模素数 的剩余类域 。为方便起见 以后总用 表示元有限域 。定义 特征 是任意的一个域如果 的素域同构于有理数域 如果的素域同构于整数环 的特征为记为 。域特征的定义还等价于 的单位元对于任意正整数力 如果 否则称满足的最小正整数刀为域 的特征。结论 的特征为对于任意口 刀口…中的元素两两互不相同。结论任意域的特征或为素数 或为 。引理 ”个元素这里国羽 关于其素域的域扩张次数。定理 设‘是一个含有 个元素的有限域 。则巧的乘法群‘‘是一个循环群。设‘是一个含有个元素的有限域 口是‘’的生成元 则由定理 可知‘ 其中是零元素 是单位元。定义 设‘是一个含有 个元素的有限域 ‘‘的生成元称为‘的本原元。定理 设‘是一个含有 个元素的有限域 则对任意的口 一扬州大学硕士学位论文有限域上的不可约多项式、887700葡京线路本原多项式定理 设‘是一个含有 个元素的有限域 为‘上的一个玎次不可约多项式。设所是一个正整数 并且历 考虑二元域上的多项式烈叻 因为所以 上没有一次因式从而也没有二次因式。因此 上的不可约多项式。定义设‘是一个含有 个元素的有限域 是‘的一个含有 个元素的子域 首项系数为并且次数最低的多项式称为口在 上的极小多项式。这里 的单位元当然也是‘的单位元 。定义 设‘是一个含有 个元素的有限域 ‘是乃的一个含有 的一个本原元。口在‘上的极小多项式称为‘上的一个本元多项式。注有限域‘上的本元多项式一定是‘上的不可约多项式 反之 不一定会成立。引理 由引理我们可以推知 口。是有限域中的元素 则对于任意的自然数刀恒有 包含厂的全部根 特别地 如果口是方程厂 的一个根 有限域上的矩降域上的矩阵是指所有元素都属于某个域上的矩阵。我们称为域上的一个 阶的矩阵 刀为矩阵厂的列向量。当 阶的方阵。定义矩阵彳的行 上的一个阶的矩阵 则矩阵彳的行秩一定等于列秩。887700葡京线路矩阵彳的行秩和列秩统称为矩阵彳的秩 记为 有限域上的迹函数理论伪随机序列被广泛应用于数据加密它既能利用硬件 移位寄存器 产生 也可以利用有限域上的迹函数来生成 并且由后者生成的序列的密码特性远远优于前者 特别是在相关函数方面更是如此。近年来 迹函数作为一种从扩域向量空间到其基础域向量空间的线性变换 被广泛用于研究有限域的代数结构及序列密码的性质。大量文献表明 迹函数是研究有限域上周期序列密码特性的一个十分简便的强有力的工具。下面我们就来介绍有限域上迹函数的定义及其性质。定义 次扩张对于任意的口 上的线性映射而且它还可以描述出所有从有限域 上的线性变换并且与选择的基无关。蒋新新 通信系统中的序列设计第三章序列设计的准则和理论界限序列在很多方面都有重要应用 虽然应用的场景不同 但它们对序列的基本要求都是相似的。序列的设计中需要满足一定的准则 并且受到相应理论界限的制约 即序列的长度、序列的数目、序列的自相关性能和互相关性能之间的约束关系。理论界限对序列设计起着重要的指导作用 同时它们也是评判序列优劣的标准。本章首先介绍了序列相关函数的定义 然后给出了序列设计的基本要求和准则 阐述了序列设计中几个主要的理论界限 最后简要讨论了几类具有特定相关性能的重要序列。各类使用扩频序列的通信系统中的多址干扰和多径干扰主要是由序列的相关性能所决定的 而序列的相关性能是用相关函数来表征的。直接扩频序列的相关函数通常可以分为两类 即周期相关函数和非周期相关函数 它们可以被分别定义如下。 周期相关函数及其性质定义和计算两个信号之间相关性的目的就在于衡量这两个信号的相似度 换句话说 就是两个信号之间或者一个信号自身独立性的一个评判标准。信号的相关性在雷达 声波 数字通信 地理等很多科学领域都有应用。定义 是周期为的数字信号 它们的互相关函数定义为定义 的周期自相关函数定义为信号是周期信号 取模。定义相对于上面的非标准化相关函数的定义 现定义标准化相关函数 自相关函数是关于的偶函数 互相关函数一般不是偶函数且峰值不一定在时取得。 非周期相关函数定义 对于长度为 的非周期序列 即可得到自相关函数的定义。为方便起见我们只讨论在 范围内的 相关函数 定义非周期相关峰值 佣分别为自相关函数和互相关函数的最大值另一个相关函数的重要因素是受益因子 在应用中 一般要求相关峰值尽可能小同时受益因子尽可能大。因为 零移位自相关函数应尽可能大 以保证可以从噪声干扰中正确提取有用信号 蒋新新通信系统中的序列设计 非零移位自相关函数应尽可能小 允许用户工作于异步方式 互相关函数要很小 以减小同一信道中接收信号所受到的其它用户的干扰。 周期相关函数与非周期相关函数的关系虽然非周期相关函数 和周期相关函数尺。 分别有不同的应用场景 但是它们之间存在着确定的关联。周期相关函数可用不同位移的非周期相关函数来表示 上述几类相关函数都有各自描述序列性能的侧重点。对于二相和多相的单一序列人们更多的是使用周期相关函数来分析序列特性 而对于三相单一序列和互补序列 则可以同时考虑非周期相关函数和周期相关函数。 汉明相关函数汉明相关函数表征了跳频序列在某一时隙上 由于两个或多个用户的信号载频跳到同一频隙 出现频隙重合而造成的干扰程度。下面给出这一术语的精确数学表述。定义 汉明相关函数 在相对延时加的汉明相关函数日咖 定义为 特别的如果口 为自相关汉明相关函数否则称为互相关汉明相关函数。从定义可以看出 周期汉明相关函数也 在相对时延加下 在一个序列周期内频隙重合的次数。显然如果日础 越小 则这两个跳频序列之间的重合次数越小 也就是两个用户之间的干扰越小。下面我们来分析序列的汉明相关特性 为此先引入下述概念 是序列族中的两条序列 引理对于舒 上的长度为 如果序列族的汉明自相关性能和互相关性能依等式达到了上述两式 则称该序列族具有最佳汉明相关性能。 序列设计的基本要求和准则在很多情况下 序列又可以被称作伪随机序列或伪噪声序列 这体现出序列应该具有类似于噪声的随机特性。然而 在现代通信中 随机性已经不再是人们最关心的序列特性。随着 方式的出现 需要序列具备更多更重要的特性。一般来说 序列应该满足如下几个基本要求和准则。 优良的相关性能 通信以及直接序列扩频通信常常以相关检测技术来检测、判决通信信号 序列的相关性能是造成多址干扰和多径干扰的根源 优良的相关性能可以极大地降低误码率。887700葡京线路因此 优良的自相关和互相关性能是序列设计的一个重要指标 也是人们构造序列的一个基本目标。 大序列数目在多址通信系统中 序列集合中序列的数目越大 意味着所能容纳的用户数目越多 同时所能提供的数据传输速率也就越高。从另一个角度看 序列数目越大 允许改变扩频序列的范围也就越大 从而可以提高系统抗侦窃的能力。那么 拥有庞大的序列数目也是序列设计中的一个重要准则 人们通常会牺牲序列集合的其它方面的性能来获得更多的序列。 良好的随机性随机性是阻止非法使用者复制、预测序列的一种度量指标。以二相序列为例 表示一枚硬币的正面 表示反面 那么 出现符合伯努利硬币试验结果的序列的随机性是最佳的。大线性复杂度线性复杂度是指非法使用者利用线性移位寄存器来产生所破译序列所需移位寄存器的个数。很明显 线性复杂度越大 破译序列的难度也就越大。这一特性在保密通信中显蒋新新 通信系统中的序列设计得尤其重要。 平衡特性以二相序列为例 当序列的一个周期中出现 则称这个序列是平衡的。在直扩通信系统中应用平衡序列是十分重要的。如果应用非平衡序列 则直扩系统会产生载波泄漏而使系统失去抗侦窃的性能。 灵活的周期长度序列的周期表示序列不重复出现的那一段字符串的长度。在各种各样的实际应用中 对序列的周期长度要求各异 因此希望序列设计中能够灵活地控制其周期长度 否则序列的应用将会受到制约。例如 有些序列集合为了获得特定的性能 只能获得某些特定的周期长度 从而限制了应用系统对序列的选取。 序列设计的理论界限 系统希望用到的是具有如下相关特性的理想扩频序列族 。目前普遍应用的理论界有 界等。为了引述这些理论界本文首先给出一些符号定义。周期自相关函数的边峰值 。定义为 。周期互相关函数的最大值。定义为疋 。序列族的最大边锋值一定义为 如果一个由个周期为 的序列组成的序列族 一扬州大学硕士学位论文个序列的能量那么对于任意正整数七 七一。定理 如果一个由个周期为 的序列组成的序列族么中 每个序列的能弘川 如果一个由个周期为 的序列组成的序列族彳中 每个序列的分量的取值都是 次单位复数根 那么 上式近似为天孟界建立在向量 序列看成向量 内积基础上 是直接从相关函数定义出发得到的。一般情形下 目前为止最好的理论界是由 得到的。综合 对于给定的序列数目为序列长度为 相序列族合一般有。 勰譬上式表明多相序列的 比二相序列的降低 系统中这意味着系统的信噪比能够改善 因此 通信系统中同等条件下应优先考虑使用多相序列作为扩频码。

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